Question

9．在（x-$\frac{3}{x}$+2）⁵的展開式中，x³的系數(shù)為25．

Answer 1

分析 先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r、r′的值，即可求得x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：式子（x-$\frac{3}{x}$+2）⁵=[（x-$\frac{3}{x}$）+2]⁵的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x-$\frac{3}{x}$）^5-r•2^r，
對(duì)于（x-$\frac{3}{x}$）^5-r，它的通項(xiàng)公式為T_r′+1=（-3）^r′•${C}_{5-r}^{r′}$•x^5-r-2r′，
其中，0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然數(shù)．
令5-r-2r′=3，可得$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{r′=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=0}\end{array}\right.$，
故x³項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{5}^{0}$•${C}_{5}^{1}$•（-3）¹+${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{0}$•（-3）⁰=25，
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．