Question

如圖，已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設A為圓C與x軸負半軸的交點，過點A作圓C的弦AM，并使弦AM的中點恰好落在y軸上．
（1）當r在（1，+∞）內變化時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知定點P（-1，1）和Q（1，0），設直線PM、QM與軌跡E的另一個交點分別是M₁、M₂．求證：當M點在軌跡E上變動時，只要M₁、M₂都存在且M₁≠M₂，則直線M₁M₂恒過一個定點，并求出這個定點．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設M（x，y），則AM的中點D(0，

y

2

)．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出點M的軌跡E的方程．
（2）設M，M₁，M₂的坐標分別為(t2，2t)，(

t

2 1

，2t1)，(

t

2 2

，2t2)，其中t≠0且t≠

1

2

．由P，M，M₁共線得

2t1-2t

t 2 1 -t2

=

2t-1

t2+1

⇒t1=

t+2

2t-1

； 由Q，M，M₂共線得

2t2-2t

t 2 2 -t2

=

2t-0

t2-1

⇒t2=-

1

t

，可得t₁t₂=-

t+2

2t2-t

，t₁+t₂=

t2+1

2t2-t

，求出直線M₁M₂的方程，即可得出結論．

解答： 解：（1）設M（x，y），則AM的中點D(0，

y

2

)．
因為C（1，0），

DC

=（1，-

y

2

），

DM

=（x，

y

2

）
在⊙C中，因為CD⊥DM，所以x-

y2

4

=0．
所以，點M的軌跡E的方程為：y²=4x（x≠0）．
（2）設M，M₁，M₂的坐標分別為(t2，2t)，(

t

2 1

，2t1)，(

t

2 2

，2t2)，其中t≠0且t≠

1

2

．
由P，M，M₁共線得

2t1-2t

t 2 1 -t2

=

2t-1

t2+1

⇒t1=

t+2

2t-1

；
由Q，M，M₂共線得

2t2-2t

t 2 2 -t2

=

2t-0

t2-1

⇒t2=-

1

t

．
∴t₁t₂=-

t+2

2t2-t

，t₁+t₂=

t2+1

2t2-t

∴直線M₁M₂的方程為（t₁+t₂）y-2x-2t₁t₂=0，即t²（y-4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，
∴

y-4x=0 x+1=0 y+4=0

，
∴x=-1，y=-4，
∴直線M₁M₂恒過一個定點（-1，-4）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．