已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2
5
，離心率為
5
5
，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是右準線上任意一點，過F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M，N，在線段MN上取點H（異于點M，N），滿足
MP
PN
=
MH
HN
，試證明點H恒在一定直線上．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由題意可得
2a=2
5
e=
c
a
=
5
5
a2=b2+c2
，求出a，b，c，可得橢圓E的標準方程；
（2）根據(jù)PF2⊥F2Q，可得-y1y0=4（x1-1），再利用直線的斜率公式，即可證明；
（3）設過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），點H（x，y），確定坐標之間的關系，再利用4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，即可得證．
解答： 解：（1）由題意可得
2a=2
5
e=
c
a
=
5
5
a2=b2+c2
，解得a=
5
，c=1，b=2，
所以橢圓E：
x2
5
+
y2
4
=1．
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=
a2
c
=5，F(xiàn)2（1，0）
設P（5，y0），Q（x1，y1），
因為PF2⊥F2Q，所以kQF2kPF2=
y0
5-1
•
y1
x1-1
=-1，
所以-y1y0=4（x1-1），
又因為kPQkOQ=
y1
x1
•
y1-y0
x1-5
=
y12-y1y0
x
2
1
-5x1
=
y
2
1
+4(x1-1)
x
2
1
-5x1
且
y
2
1
=4(1-
x
2
1
5
)
代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-
4
5
．
（3）設過P（5，3）的直線L與橢圓交于兩個不同點M（x1，y1），N（x2，y2），點H（x，y），
則4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，
設
MP
PN
=
MH
HN
=λ，則（x1-5，y1-3）=λ（x2-5，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
整理得5=
x1-λx2
1-λ
，x=
x1+λx2
1+λ
，3=
y1-λy2
1-λ
，y=
y1+λy2
1+λ

從而5x=
x12-λ2y22
1-λ2
，3y=
y12-λ2y22
1-λ2

由于4
x
2
1
+5
y
2
1
=20，4
x
2
2
+5
y
2
2
=20，
∴20x+15y=
4
x
2
1
-4λ2
x
2
2
+5
y
2
1
-5λ2
y
2
2
1-λ2
=
4
x
2
1
+5
y
2
1
-λ2(4
x
2
2
+5
y
2
2
)
1-λ2
=20，
所以點H恒在直線20x+15y-20=0，即4x+3y-4=0上．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查斜率公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．
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直線x-
3
y+1=0的傾斜角大小為
 
．

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（2）這些直線交成多少個三角形？

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過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與橢圓交于M，N兩點，以MN為直徑的圓恰好過左焦點，則橢圓的離心率等于
 
．

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已知關于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1．
（Ⅰ）設集合A={-1，1，2，3，4，5}和B={-2，-1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．
（Ⅱ）設點（a，b）是區(qū)域
x+y-8≤0
x＞0
y＞0
內的隨機點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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已知命題p：存在x∈R，x2+mx+1＜0，q：任意x∈R，sinx+cosx＞m，若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)m的取值范圍．

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已知橢圓
x2
8
+
y2
2
=1上一點A（2，1）和該橢圓上兩動點B、C，直線AB、AC的斜率分別為k1、k2，且k1+k2=0，則直線BC的斜率k（　�。�
A、k＞
1
2
或k＜-
1
2
B、k=-
1
2
C、k=
1
2
D、k的值不確定

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