Question

已知?jiǎng)訄AQ與x軸相切，且過(guò)點(diǎn)A（0，2）．
（1）求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M方程；
（2）設(shè)B、C為曲線M上兩點(diǎn)，P（2，2），PB⊥BC，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）為軌跡上任一點(diǎn)，則|y|=

x2+(y-2)2

≠0，由此能求出動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程．
（2）設(shè)B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，由P（2，2），知

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，由PB⊥BC，知(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0，所以x2=-(x1+

16

x1+2

)，由此能求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）為軌跡上任一點(diǎn)，則
|y|=

x2+(y-2)2

≠0，
化簡(jiǎn)得動(dòng)圓圓心Q的軌跡M方程：y=

1

4

x2+1．                                
（2）設(shè)B(x1，

1

4

x12+1)，C(x2，

1

4

x22+1)，
∵P（2，2），
∴

PB

=(x1-2，

1

4

x12 -1)，

BC

=(x2-x1，

1

4

x22-

1

4

x12)，
∵PB⊥BC，
∴

PB

•

BC

=0，
∴(x1-2)(x2-x1)+(

1

4

x12-1)(

1

4

x22-

1

4

x12)=0
∴x2=-(x1+

16

x1+2

)，
當(dāng)x₁＞0時(shí)，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2+

16

x1+2

-2)
≤-(2

(x1+2)• 16 x1+2

-2)
=-6．
當(dāng)x₁＜0時(shí)，x2=-(x1+

16

x1+2

) 
=-(x1+2)-

16

x1+2

+2
≥2

[-(x1+2)]•(- 16 x1+2

)+2
=10                     
∴x₂≥10 或x₂≤-6．
故點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，-6]∪[10，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值不等式的合理運(yùn)用．