18．觀察下列不等式：
$\begin{array}{l}\frac{1}{5}＜\frac{1}{4}，\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}＜\frac{1}{3}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}＜\frac{3}{8}\\ \frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+\frac{1}{41}＜\frac{2}{5}\\…\end{array}$
則第n個不等式為$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$．

分析 設左邊的分母為數(shù)列{an}，則an=2n2+2n+1，右邊分子為1，分母組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，滿足2n+2，即可得出第n個不等式．

解答 解：設左邊的分母為數(shù)列{an}，則an=2n2+2n+1，右邊分子為1，分母組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，滿足2n+2，
∴第n個不等式為$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$，
故答案為$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+…+\frac{1}{2{n}^{2}+2n+1}$＜$\frac{n}{2n+2}$，

點評 本題考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關鍵．

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