Question

17．設(shè)有關(guān)x的一元二次方程x²-ax+b²=0，若a是從區(qū)間[0，6]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，4]任取的一個(gè)數(shù)，則上述方程有實(shí)根的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 如圖，試驗(yàn)的所有基本事件所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜲ABC及其內(nèi)部，利用一元二次方程根的判別式算出方程有實(shí)根的事件對應(yīng)的區(qū)域?yàn)閳D中的三角形OAD及其內(nèi)部，求出兩個(gè)區(qū)域的面積并利用幾何概型公式，即可算出所求的概率．

解答 解：如圖，所有的基本事件對應(yīng)集合Ω={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4}，
構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槿鐖D的矩形OABC及其內(nèi)部，其面積為S=6×4=24；
設(shè)事件A=“方程x²-ax+b²=0有實(shí)根”，
∵△=（a）²-4×1×b²≥0，結(jié)合a、b都是非負(fù)數(shù)，解得a≥2b，
∴事件A對應(yīng)的集合A={（a，b）|0≤a≤6，0≤b≤4，且a≥2b}，
所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜲ABC及其內(nèi)部，且在直線a=2b的右下方部分，
即圖中的三角形OAD及其內(nèi)部，其面積S'=$\frac{1}{2}$×6×3=9．
由于點(diǎn)（a，b）落在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)是隨機(jī)的，
∴事件A發(fā)生的概率P（A）=$\frac{9}{24}$=$\frac{3}{8}$，即方程有實(shí)根的概率是$\frac{3}{8}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題給出含有字母參數(shù)的一元二次方程，求方程有實(shí)數(shù)根的概率．著重考查了一元二次方程根的判別式、不等式表示的平面區(qū)域、面積公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．