Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
①方程f（x）=-x有1個根；
②若方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 ①畫出函數(shù)的圖形，即可得到解的個數(shù)；
②由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答 解：①函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
與y=-x的圖象如圖：
可知方程f（x）=-x有1個根．
②函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}x+1，\;x≤1\\ lnx，x＞1\end{array}\right.$，
∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
設切點為（x₀，y₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
而切線過原點，∴y₀=1，x₀=e，k=$\frac{1}{e}$，
∴直線l₁的斜率為$\frac{1}{e}$，
又∵直線l₂與y=$\frac{1}{4}$x+1平行，
∴直線l₂的斜率為$\frac{1}{4}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{e}$）
故答案為：①1，②$[\frac{1}{4}，\frac{1}{e}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質的應用問題，函數(shù)的導數(shù)的應用，考查函數(shù)與方程的關系，是易錯題．