Question

11．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱CC₁與DD₁的中點
（1）證明：直線C₁F∥平面BDE；
（2）求二面角A-BD-E的正切值．

Answer 1

分析 （1）推導出DF$\underset{∥}{=}$EC₁，從而四邊形DFC₁是平行四邊形，進而C₁F∥DE，由此能證明C₁F∥平面BDE．
（2）連結AC、BD，交于點O，連結OE，則∠EOC是二面角A-BD-E的平面角的補角，由此能求出二面角A-BD-E的正切值．

解答 證明：（1）∵在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E，F(xiàn)分別是棱CC₁與DD₁的中點，
∴DF$\underset{∥}{=}$EC₁，∴四邊形DFC₁是平行四邊形，
∴C₁F∥DE，
∵C₁F?平面BDE，DE?平面BDE，
∴C₁F∥平面BDE．
解：（2）連結AC、BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD是正方形，∴CO⊥BD，
∵在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，
∴CO=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，CE=$\frac{a}{2}$，BE=DE，
∴EO⊥BD，
∴∠EOC是二面角A-BD-E的平面角的補角，
∵tan∠EOC=$\frac{EC}{OC}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A-BD-E的正切值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．