Question

11．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，且b=4，c=1，A=2B，則sin2B的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{55}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{55}}{9}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理和二倍角的正弦公式化簡得a=8cosB，利用余弦定理表示出cosB并化簡，求出a和cosB的值，由平方關系和B的范圍求出sinB，由正弦定理求出sinA的值，即可得到sin2B的值．

解答 解：∵b=4，c=1，A=2B，
∴由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，則$\frac{a}{sin2B}=\frac{4}{sinB}$，

即$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{4}{sinB}$，化簡得a=8cosB，
由余弦定理得，a=8•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，
∴a²=4（a²-15），解得a=$2\sqrt{5}$，則cosB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
由0＜B＜π得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{11}}{4}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得，sinA=$\frac{a•sinB}$=$\frac{2\sqrt{5}•\frac{\sqrt{11}}{4}}{4}$=$\frac{\sqrt{55}}{8}$，
∴sin2B的值是$\frac{\sqrt{55}}{8}$，
故選：A．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，二倍角的正弦公式等，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡、變形能力．