Question

【題目】已知函數g（x）=ex ， f（x）= ，f（x）是定義在R上的奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）若關于t的方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0有兩個根α、β，且α＞0，1＜β＜2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定義在R上的奇函數，

∴f（0）= ，即a=1．又f（﹣1）=﹣f（1），即 ，可得b=e．

所以f（x）= ．

又f（﹣x）= ，

所以a=1，b=e成立

（2）解：f（x）= ，易得f（x）在R上單調遞減．

方程f（2t2﹣mt）+f（1﹣t2）=0可轉化為f（2t2﹣mt）=﹣f（1﹣t2），又函數f（x）是奇函數，則

f（2t2﹣mt）=f（t2﹣1）．又函數f（x）在R上單調遞減，

所以2t2﹣mt=t2﹣1，即t2﹣mt+1=0．

考慮函數h（t）=t2﹣mt+1，

（i）若α=1或2，則m=2或 ，易得 ，與β∈（1，2）矛盾；

（ii）若0＜α＜1或α＞2，則h（1）h（2）＜0，即（2﹣m）（5﹣2m）＜0， ；

（iii）若1＜α＜2，則只需滿足 ，

由以上（i）、（ii）、（iii）可知

【解析】（1）根據奇函數的定義求解；（2）利用奇函數的性質轉化為一元二次不等式，借助與一元二次函數的關系進行判斷．
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．