Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求證：E，B，F(xiàn)，D₁四點共面；
（2）求點B₁到平面EBFD₁的距離；
（3）用θ表示截面EBFD₁和面BCC₁B₁所成銳二面角大小，求tanθ．

Answer 1

解：（1）證明：如圖：在DD₁上取一點N使得DN=1，
連接CN，EN，則AE=DN=1．CF=ND₁=2、
因為CF∥ND₁，
所以四邊形CFD₁N是平行四邊形，
所以D₁F∥CN．
同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN∥AD，且EN=AD，
又BC∥AD，且AD=BC，所以EN∥BC，EN=BC，
所以四邊形CNEB是平行四邊形，
所以CN∥BE，
所以D₁F∥BE，
所以E，B，F(xiàn)，D₁四點共面．
（2）設向量，并且與截面EBFD₁垂直，所以，．
因為，，
所以，即，
取z=3得x=1，y=2，所以．
又因為，
所以點B₁到平面EBFD₁的距離為：d=．
（3）由（2）知是平面EBFD₁的一個法向量，
又平面BCC₁B₁，所以和的夾角等于θ或π-θ（θ為銳角）．
所以cosθ． 故tanθ=．
分析：（1）四點共面問題通常我們將它們變成兩條直線，然后證明這兩條直線平行或相交，根據(jù)公理3的推論2、3可知，它們共面．
（2）先求出平面的法向量，再求出平面的斜線BB₁所在的向量在法向量上的射影即可．
（3）分別求出兩個平面的法向量，再根據(jù)兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．