Question

16．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$與$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率分別為e₁，e₂，當a，b發(fā)生變化時，求$e_1^2+e_2^2$的最小值（　�。�

• A． 4
• B． $4\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出e₁²+e₂²，利用基本不等式，求出e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：∵e₁²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$，e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$，∴e₁²+e₂²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{^{2}}$=2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$≥2+2=4
（當且僅當a=b時等號成立）．
∴當它們的實、虛軸都在變化時，e₁²+e₂²的最小值是4．
故選：A．

點評 本題給出共軛雙曲線的概念，叫我們判斷關于共軛雙曲線的離心率的幾個式的正確性．著重考查了雙曲線的基本概念和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．