Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項滿足b_n＝a_n+1－a_n，c_n＝b_n+1－b_n(n∈N*)，若數(shù)列{b_n}是一個非零常數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}是一階等差數(shù)列；若數(shù)列{c_n}是一個非零常數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}是二階等差數(shù)列．

(Ⅰ)試寫出滿足條件a₁＝1、b₁＝1、c_n＝1的二階等差數(shù)列{a_n}的前五項；

(Ⅱ)求滿足條件(1)的二階等差數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；

(Ⅲ)若數(shù)列{a_n}首項a₁＝2，且滿足c_n－b_n+1＋3a_n＝－2ⁿ⁺¹(n∈N*)，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)，，，，　　4分 　　(Ⅱ)依題意　 　　所以 　　　　2分 　　又　 　　所以 　　　　4分 　　(Ⅲ)由已知，可得 　　， 　　即　， 　　∴　　2分 　　解法一：整理得:，　　2分 　　因而數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列， 　　∴， 　　即　　　4分 　　解法二：在等式兩邊同時除以得： 　　　　2分 　　令，則，即. 　　故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. 　　所以，即，∴　　4分 　　解法三：∵， 　　∴，， 　　猜想：　　2分 　　下面用數(shù)學歸納法證明如下：(Ⅰ)當時，，猜想成立； 　　(Ⅱ)假設(shè)時，猜想成立，即 　　那么當時， 　　，結(jié)論也成立 　　∴　　由(ⅰ)、(ⅱ)可知，　　4分