Question

不等式(

1

2

)x2+ax＜(

1

2

)2x+a-2恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題從形式上看是一個指數(shù)復(fù)合不等式，外層是指數(shù)型的函數(shù)，此類不等式的求解一般借助指數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為其它不等式，再進行探究，本題可借助y=(

1

2

)x這個函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化后不等式變成了一個二次不等式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)對其進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答：解：由題意，考察y=(

1

2

)x，是一個減函數(shù)
∵(

1

2

)x2+ax＜(

1

2

)2x+a-2恒成立
∴x²+ax＞2x+a-2恒成立
∴x²+（a-2）x-a+2＞0恒成立
∴△=（a-2）²-4（-a+2）＜0
 即（a-2）（a-2+4）＜0
 即（a-2）（a+2）＜0
 故有-2＜a＜2，即a的取值范圍是（-2，2）
 故答案為（-2，2）

點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查利用單調(diào)性解不等式，本題是一個恒成立的問題，此類問題求解的方法就是通過相關(guān)的知識進行等價、靈活地轉(zhuǎn)化，變成關(guān)于參數(shù)的不等式求參數(shù)的范圍，這是此類題求解的固定規(guī)律，題后應(yīng)好好總結(jié)本題的解題思路及其中蘊含的知識規(guī)律與技巧規(guī)律．