Question

20．已知a，b，c，m，n，p都是實數(shù)，且a²+b²+c²=1，m²+n²+p²=1．
（Ⅰ）證明|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）若abc≠0，證明$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$≥1．

Answer 1

分析 利用柯西不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²，
∵a²+b²+c²=1，m²+n²+p²=1，
∴1≥（am+bn+cp）²，
∴|am+bn+cp|≤1；
（Ⅱ）由柯西不等式，可得$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$=（$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$）（a²+b²+c²）≥（m²+n²+p²）²=1，
∴$\frac{{m}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{4}}{^{2}}$+$\frac{{p}^{4}}{{c}^{2}}$≥1．

點評 本題考查柯西不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用柯西不等式是關(guān)鍵．