是否存在4個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？

答案：
解析：

　　如圖所示，在正△ABC中，O為其內(nèi)心，P為圓周上一點(diǎn)，滿足、、兩兩不共線，有(＋)·(＋)

　�。�(＋＋＋)·(＋＋)

　　＝(2＋＋)·(2＋)

　�。�(2－)·(2＋)

　�。�42－2

　　＝0．

　　∴有(＋)與(＋)垂直．

　　同理可證其他情況．

　　從而、、、滿足題意．故存在這樣的4個(gè)平面向量．


提示：

本題是一個(gè)探索性問題，解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)正三角形及其內(nèi)切圓，得到四個(gè)向量，這也是本題的難點(diǎn)．然后利用向量之間的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算律論證＋與＋垂直．


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在中學(xué)階段，對(duì)許多特定集合（如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等）的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算（如四則運(yùn)算）和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個(gè)運(yùn)算，記為⊙，對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=（a，b），β=（c，d），規(guī)定：α⊙β=(
.
a-c
bd
.
，
.
da
cb
.
)．
（1）計(jì)算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述運(yùn)算⊙滿足交換律和結(jié)合律，并任選其一證明；
（3）A中是否存在唯一確定的元素I滿足：對(duì)于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，請(qǐng)求出元素I；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）試延續(xù)對(duì)集合A的研究，請(qǐng)?jiān)贏上拓展性地提出一個(gè)真命題，并說明命題為真的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An（n，an），Bn（n，bn），Cn（n-1，0），滿足向量
AnAn+1
與向量
BnCn
平行，并且點(diǎn)列{Bn}在斜率為6的同一直線上，n=1，2，3，…．
（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（2）試用a1，b1與n表示an（n≥2）；
（3）設(shè)a1=a，b1=-a，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得在a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列{an}的最小項(xiàng)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）若a1=b1=3，對(duì)于區(qū)間[0，1]上的任意λ，總存在不小于2的自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，an≥（1-λ）（9n-6）恒成立，求k的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：設(shè)計(jì)必修四數(shù)學(xué)人教A版 人教A版 題型：044

是否存在4個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在中學(xué)階段，對(duì)許多特定集合（如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等）的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算（如四則運(yùn)算）和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容．現(xiàn)設(shè)集合A由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個(gè)運(yùn)算，記為⊙，對(duì)于A中的任意兩個(gè)元素α=（a，b），β=（c，d），規(guī)定：α⊙β=．
（1）計(jì)算：（2，3）⊙（-1，4）；
（2）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述運(yùn)算⊙滿足交換律和結(jié)合律，并任選其一證明；
（3）A中是否存在唯一確定的元素I滿足：對(duì)于任意α∈A，都有α⊙I=I⊙α=α成立，若存在，請(qǐng)求出元素I；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）試延續(xù)對(duì)集合A的研究，請(qǐng)?jiān)贏上拓展性地提出一個(gè)真命題，并說明命題為真的理由．

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