Question

設函數．
（1）若函數在上為減函數，求實數的最小值；
（2）若存在，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）a的最小值為;（2）．

試題分析：（1）根據f (x)在上為減函數，得到在上恒成立．轉化成時，．
應用導數確定其最大值為．
（2）應用“轉化與化歸思想”，對命題進行一系列的轉化，“若存在使成立”等價于“當時，有”．
由（1）問題等價于：“當時，有”．
討論①當時，②當<時， ，作出結論.
（1）由已知得x＞0，x≠1．
因f (x)在上為減函數，故在上恒成立．      1分
所以當時，．
又，            2分
故當，即時，．
所以于是，故a的最小值為．                  4分
（2）命題“若存在使成立”等價于
“當時，有”．                   5分
由（1），當時，，．
問題等價于：“當時，有”．                  6分
①當時，由（1），在上為減函數，
則=，故．                  8分
②當<時，由于在上的值域為
（�。�，即，在恒成立，故在上為增函數，
于是，，矛盾．                 10分
（ⅱ），即，由的單調性和值域知，
存在唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數；當時，，為增函數；
所以，，                12分
所以，，與矛盾．         13分
綜上，得                              14分