Question

某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產品的生產．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%．預計以后每年年增長率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為a_n萬元．
（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并寫出a_n+1與a_n的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值（用m表示）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可求得a₁=2000（1+50%）-d，a₂=a₁（1+50%）-d=，…從而歸納出a_n+1=a_n-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=a_n-1-d=（a_n-2-d）-d=…=a₁-d[1+++…+]，利用等比數列的求和公式可求得a_n=（3000-3d）+2d，再結合題意a_m=4000，
即可確定企業(yè)每年上繳資金d的值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得：a₁=2000（1+50%）-d=3000-d，
a₂=a₁（1+50%）-d=a₁-d=4500-d，
…
a_n+1=a_n（1+50%）-d=a_n-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=a_n-1-d
=（a_n-2-d）-d
=a_n-2-d-d
=…
=a₁-d[1+++…+]
整理得：a_n=（3000-d）-2d[-1]
=（3000-3d）+2d．
由題意，a_m=4000，即（3000-3d）+2d=4000．
解得d==，
故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時，經過m（m≥3）年企業(yè)的剩余資金為4000萬元．
點評：本題考查數列的應用，著重考查歸納思想的運用，求得a_n+1=a_n-d是關鍵，遞推關系的綜合應用是難點，突出轉化與運算能力的考查，屬于難題．