【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.

【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，即可求解；

（Ⅱ）由題意，得 ，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）代入，求出，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出證明.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>在處取得極值，

所以，解得．

驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，在處取得極大值．

（2）解：因?yàn)?/span>

所以．

①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

②若，，

當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

所以，

即，

所以．

令，，

則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在時(shí)，取得最小值，最小值為．

所以，

即，所以或．

因?yàn)?/span>為正實(shí)數(shù)，所以．

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在滿足條件，

所以．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓O：與直線相切．

（1）求圓O的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程；

（3）若過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線交圓O于B、C兩點(diǎn)，且，求證：直線BC恒過(guò)定點(diǎn)．并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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【題目】某校組織了一次新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)，在成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析中，某班的數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖因故都受到不同程度的損壞，但可見(jiàn)部分如下，據(jù)此解答如下問(wèn)題：

5

6

8

6

2

3

3

5

6

8

9

7

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

8

9

5

8

（1）求該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的頻率及全班人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該班這次測(cè)評(píng)的數(shù)學(xué)平均分；

（3）若規(guī)定90分及其以上為優(yōu)秀，現(xiàn)從該班分?jǐn)?shù)在80分及其以上的試卷中任取2份分析學(xué)生得分情況，求在抽取的2份試卷中至少有1份優(yōu)秀的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知且成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)數(shù)列滿足求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高．

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【題目】已知，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．

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【題目】如圖，已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn).A（-a，0），|AF|=3.

（I）求橢圓C的方程；

（II）設(shè)O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M.直線OM與直線x=4交于點(diǎn)D，過(guò)O且平行于AP的直線與直線x=4交于點(diǎn)E.求證：∠ODF=∠OEF.

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【題目】已知函數(shù) (x>0)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導(dǎo)數(shù)，n∈N*.

(1)求的值；

(2)證明：對(duì)任意的n∈N*，等式都成立.

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【題目】某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求．”

該同學(xué)解答過(guò)程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

因?yàn)閳AO：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>．所以直線AB的斜率為．

所以直線AB的方程為，即．

代入消去y整理得，

解得，．當(dāng)時(shí)，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

所以．

指出上述解答過(guò)程中的錯(cuò)誤之處，并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．

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