Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意實數a，b總有f（a+b）=f（a）•f（b），當x＞0時，0＜f（x）＜1，且．
（Ⅰ）用定義法證明：函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（Ⅱ）解關于x的不等式（k∈R）；
（Ⅲ）若x∈[-1，1]，求證：（k∈R）．

Answer 1

（Ⅰ）證明：令b=0，則f（a+0）=f（a）f（0），∴f（0）=1．
令b=-a，則f（0）=f（a）f（-a）=1，∴f（-a）=
設x₁＜x₂，則=f（x₂）f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，即：0＜＜1，
設x＜0，則-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，∴0＜＜1，∴f（x）＞1
∴在R上，函數f（x）＞0
∴f（x）是減函數；
（Ⅱ）解：∵，∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=
∴不等式為f（kx²-5kx+6k）•f（-x²+6x-7）＞f（2）
∴（k-1）x²-（5k-6）x+6k-7＜2
∴（k-1）x²-（5k-6）x+6k-9＜0
∴[（k-1）x-（2k-3）]（x-3）＜0
①k=1，不等式可化為x-1＜2，所以x＜3，即不等式的解集為（-∞，3）；
②；
③；
④；
⑤k=0，（-∞，3）∪（3，+∞）．
（Ⅲ）證明：因為f（x）在[-1，1]單調遞減，f（-1）=2，
所以只需證，即，即，得證．
分析：（Ⅰ）賦值，利用單調性的定義，設x₁＜x₂，證明0＜＜1，即可得到函數f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（Ⅱ）求得f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=，不等式化為[（k-1）x-（2k-3）]（x-3）＜0，分類討論，即可得到結論；
（Ⅲ）利用分析法，求得f（-1）=2，只需證，即，即，從而得證．
點評：本題考查函數單調性的證明，考查解不等式，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．