Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）若M、N分別是AB，A₁C的中點，求證：MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，∠B₁BA=∠B₁BC=60°，P為線段B₁B上的動點，當(dāng)PA++PC最小時，求證：B₁B⊥平面APC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC₁、BC₁，先證明MN∥BC₁，又BC₁?平面BCC₁B₁，即可證明MN∥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）將平面A₁B₁BA展開到與平面C₁B₁BC共面，A到A′的位置，此時A′BCB₁為棱形，證明BB₁⊥PA，BB₁⊥PC，即可證明BB₁⊥平面PAC．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連接AC₁、BC₁，則AN=NC₁，因為AM=MB，所以MN∥BC₁
又BC₁?平面BCC₁B₁，所以MN∥平面BCC₁B₁


（Ⅱ）將平面A₁B₁BA展開到與平面C₁B₁BC共面，A到A′的位置，此時A′BCB₁為棱形，
可知PA+PC=PA′+PC，
A′C即為PA+PC的最小值，
此時，BB₁⊥A′C，
所以BB₁⊥PA′，BB₁⊥PC，即BB₁⊥PA，BB₁⊥PC，
所以BB₁⊥平面PAC

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，恰當(dāng)?shù)淖龀鲚o助線是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．