Question

(1)寫出函數(shù)y＝x²－2x的單調(diào)區(qū)間及其圖像的對稱軸，觀察：在函數(shù)圖像對稱軸兩側的單調(diào)性有什么特點？

(2)寫出函數(shù)y＝|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖像的對稱軸，觀察：在函數(shù)圖像對稱軸兩側的單調(diào)性有什么特點？

(3)定義在[－4，8]上的函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝2對稱，y＝f(x)的部分圖像如圖所示，請補全函數(shù)y＝f(x)的圖像，并寫出其單調(diào)區(qū)間，觀察：在函數(shù)圖像對稱軸兩側的單調(diào)性有什么特點？

(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結論？試加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)函數(shù)y＝x²－2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(1，＋∞)；對稱軸是直線x＝1；區(qū)間(－∞，1)和區(qū)間(1，＋∞)關于直線x＝1對稱，單調(diào)性相反．

　　(2)函數(shù)y＝|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)；對稱軸是y軸即直線x＝0；區(qū)間(－∞，0)和區(qū)間(0，＋∞)關于直線x＝0對稱，單調(diào)性相反．

　　(3)函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4，8]的圖像如圖所示．

　　函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[－4，－1]，[2，5]；單調(diào)遞減區(qū)間是[5，8]，[－1，2]；區(qū)間[－4，－1]和區(qū)間[5，8]關于直線x＝2對稱，單調(diào)性相反，區(qū)間[－1，2]和區(qū)間[2，5]關于直線x＝2對稱，單調(diào)性相反．

　　(4)可以發(fā)現(xiàn)結論：如果函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，那么函數(shù)y＝f(x)在直線x＝m兩側對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性．證明如下：

　　不妨設函數(shù)y＝f(x)在對稱軸直線x＝m的右側一個區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，區(qū)間[a，b]關于直線x＝m的對稱區(qū)間是[2m－b，2m－a]．

　　由于函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，則f(x)＝f(2m－x)．

　　設2m－b≤x₁＜x₂≤2m－a，則b≥2m－x₁＞2m－x₂≥a，

　　f(x₁)－f(x₂)＝f(2m－x₁)－f(2m－x₂)．

　　又∵函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，∴f(2m－x₁)－f(2m－x₂)＞0．

　　∴f(x₁)－f(x₂)＞0．

　　∴f(x₁)＞f(x₂)．

　　∴函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2m－b，2m－a]上是減函數(shù)．

　　∴當函數(shù)y＝f(x)在對稱軸直線x＝m的右側一個區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)時，在[a，b]關于直線x＝m的對稱區(qū)間[2m－b，2m－a]上則是減函數(shù)，即單調(diào)性相反．

　　因此有結論：如果函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，那么函數(shù)y＝f(x)在對稱軸兩側的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性．

提示：

本題探討函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)．利用歸納、猜想、證明的方法得到結論，用定義證明結論．