Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1．
（1）寫(xiě)出a₁，a₂，a₃，并推測(cè)a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）取n=1，2，3，分別求出a₁，a₂，a₃，然后仔細(xì)觀察，總結(jié)規(guī)律，猜測(cè)a_n的值．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，①當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=2-

1

2k

，當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+a_k+1=2（k+1）+1，a_k+1=2-

1

2k+1

，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．故a_n=2-

1

2n

都成立．

解答：解：（1）a₁=

3

2

，a₂=

7

4

，a₃=

15

8

，
猜測(cè)a_n=2-

1

2n

（2）①由（1）已得當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即a_k=2-

1

2k

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴2a_k+1=2+2-

1

2k

，即a_k+1=2-

1

2k+1

，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．
根據(jù)①②得n∈N⁺，a_n=2-

1

2n

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推式，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程．