如圖,在三棱錐P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求證:PC⊥AB;
(2)求二面角B-AP-C的大小.
(3)求點C到平面APB的距離.
解法一: (1)取AB中點D,連結(jié)PD,CD. ∵AP=BP, ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB 2分 ∵PD∩CD=D. ∴AB⊥平面PCD 3分 ∵PC ∴PC⊥AB 4分 (2)∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. ∴PC⊥AC, ∴PC⊥BC. 又∠ACB=90°,且AC∩PC=C, ∴BC⊥平面PAC. 取AP中點E,連結(jié)BE,CE. ∴AB=BP, ∴BE⊥AP. ∵CE是BE在平面PAC內(nèi)的射影, ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角 6分 在△BCE中,∠BCE=90°,BC=2,BE= ∴sin∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小為aresin (4)在Rt△ABC中,∵AC=BC=2,∠ABC=90°,∴AB= 由已知,得AP=BP= 解法二: (1)如圖,以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz. 則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0). 設(shè)P(0,0,t), 2分 ∵|PB|=|AB|=2 ∴t=2,P(0,0,2) ∴PC⊥AB 4分 (2)取AP中點E,連結(jié)BE,CE. ∵|AC|=|PC|,|AB|=|BP| 6分 ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. ∵E(0,1,1), ∴cos∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小為arccos (3)∵AC=BC=PC, ∴C在平面APB內(nèi)的射影為正△APB的中心H,且CH的長為點C到平面APB的距離. ∴點C到平面APB的距離為 |
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