Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設g（x）=f（2x）﹣4bf（x），當x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；
（3）已知1.4142＜ ＜1.4143，估計ln2的近似值（精確到0.001）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2 ，

即f′（x）≥0，當且僅當ex=e﹣x即x=0時，f′（x）=0，

∴函數f（x）在R上為增函數．

（2）解：g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，

則g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]

=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]

=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．

①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，

∴當2b≤4，即b≤2時，g′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，

從而g（x）在R上為增函數，而g（0）=0，

∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．

②當b＞2時，若x滿足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2即 ，得 ，此時，g′（x）＜0，

又由g（0）=0知，當 時，g（x）＜0，不符合題意．

綜合①、②知，b≤2，得b的最大值為2．

（3）解：∵1.4142＜ ＜1.4143，根據（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，

為了湊配ln2，并利用 的近似值，故將ln 即 代入g（x）的解析式中，

得 ．

當b=2時，由g（x）＞0，得 ，

從而 ；

令 ，得 ＞2，當 時，

由g（x）＜0，得 ，得 ．

所以ln2的近似值為0.693．

【解析】對第（1）問，直接求導后，利用基本不等式可達到目的；
對第（2）問，先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數即可，從而問題轉化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；
對第（3）問，根據第（2）問的結論，設法利用 的近似值，并尋求ln2，于是在b=2及b＞2的情況下分別計算 ，最后可估計ln2的近似值．