Question

如圖所示，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P（1，0）作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y=

1

2

x上時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：先求出OA、OB所在的直線方程，對(duì)AB的斜率分類(lèi)討論，分別與射線OA、OB聯(lián)立，求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C坐標(biāo)，代入直線y=

1

2

x求出斜率求出，代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：因?yàn)樯渚�OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，
所以O(shè)A、OB所在的直線方程分別是：x-y=0，x+

3

y=0，
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則AB的方程為x=1，
易知A（1，1），B（1，-

3

3

），
所以AB的中點(diǎn)C顯然不在直線y=

1

2

x上，不滿足條件；
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，記為k，易知k≠0且k≠1，
則直線AB的方程為y=k（x-1），
分別聯(lián)立

y=k(x-1) x-y=0

，

y=k(x-1) x+ 3 y=0

，
解得A（

k

k-1

，

k

k-1

），B（

3 k

1+ 3 k

，-

k

1+ 3 k

），
所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

1

2

(

k

k-1

+

3 k

1+ 3 k

)，

1

2

(

k

k-1

-

k

1+ 3 k

)），
因?yàn)锳B的中點(diǎn)C恰好落在直線y=

1

2

x上，
所以

1

2

(

k

k-1

-

k

1+ 3 k

)=

1

2

×

1

2

(

k

k-1

+

3 k

1+ 3 k

)，
解得k=

3+ 3

2

，
則直線AB的方程為：y=

3+ 3

2

（x-1），即（3+

3

）x-2y-3-

3

=0，
所以直線AB的方程為（3+

3

）x-2y-3-

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類(lèi)討論思想、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程的點(diǎn)斜式、一般式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．