Question

【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點(diǎn)在底面內(nèi)的射影在線(xiàn)段上，且， ，M在線(xiàn)段上，且．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）在線(xiàn)段AD上確定一點(diǎn)F，使得平面平面PAB，并求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)余弦定理結(jié)合勾股定理可得，由平面，得。從而由線(xiàn)面垂直的判定定理可得結(jié)果；（Ⅱ）取是的中點(diǎn)，先證明平面，即可證明平面，然后根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，從而有.

由平面，得.

所以平面.

（Ⅱ）取是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，

，則.

在中， ， 分別是， 的中點(diǎn)，則，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

.

V = .

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面垂直、面面垂直及棱錐的體積公式，屬于中檔題.證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法有：（1）利用直線(xiàn)和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面.