Question

8．已知四面體ABCD的頂點都在同一個球的球面上，BC=$\sqrt{3}$，BD=4，且滿足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若該三棱錐的體積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，則該球的球面面積為23π．

Answer 1

分析 利用四面體ABCD的體積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，求出a到底面積BCD的距離，求出球O的半徑．然后求解球的表面積．

解答 解：由題意，如圖：BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．作CE∥BD，ED∥BC，可得CBDE是矩形，可得AE⊥平面BCDE，
BC=$\sqrt{3}$，BD=4，該三棱錐的體積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×AE$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，可得AE=2，并且AB為球的直徑，BE=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$，
AB=$\sqrt{19+4}$=$\sqrt{23}$，
∴球的表面積4π×$\frac{A{B}^{2}}{4}$=23π，
故答案為：23π．

點評 本題給出四面體ABCD的體積，考查球O的表面積的求法，正確求出球的半徑是關鍵．