Question

某公司為了公司周年慶典，先將公司門前廣場進行裝飾，廣場上有一垂直于地面的墻面AB高8+8

3

，一個垂直于地面的可移動柱子CD高為8m，現(xiàn)用燈帶對它們進行如下裝飾（如圖）：設(shè)柱子CD與墻面AB相距8m，在AB上取一點E，以C為支點將燈帶拉直并固定在地面的F處，再講燈帶拉直依次固定在D處、B處、E處，形成一個三角形型的燈帶（圖中虛線所示）設(shè)∠EFB=θ，燈帶總長為y（單位：m）
（1）求y關(guān)于θ的函數(shù)表達式及θ的取值范圍；
（2）當(dāng)BE多長時，所用燈帶總長最短？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：解三角形

分析：（1）過C點作CM⊥BE，垂足為E．在Rt△CME與Rt△CFD中，CE=

CM

cosθ

，EM=CMtanθ，CF=

CD

sinθ

，FD=

CD

tanθ

，即可得出y=CE+CF+BF+BE=

8(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

+16．在△CEM中，0＜tanθ≤

3

，即可得出θ的取值范圍．
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)，根據(jù)θ的取值范圍可得t∈(1，

2

]．另一方面t²=1+2sinθcosθ，可得y=

16

t-1

+16，即可得出．

解答： 解：（1）過C點作CM⊥BE，垂足為E．
在Rt△CME與Rt△CFD中，
CE=

CM

cosθ

，EM=CMtanθ，CF=

CD

sinθ

，FD=

CD

tanθ

，
∴y=CE+CF+BF+BE=

8

cosθ

+

8

sinθ

+8+

8

tanθ

+8+8tanθ
=8(

1+sinθ

cosθ

+

cosθ+1

sinθ

)+16
=

8(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

+16．
在△CEM中，0＜tanθ≤

3

，
∴θ∈(0，

π

3

]．
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t=

2

sin(θ+

π

4

)，
∵θ∈(0，

π

3

]，∴(θ+

π

4

)∈(

π

4

，

7π

12

)．
∴sin(θ+

π

4

)∈(

2

2

，1]，∴t∈(1，

2

]．
∴t²=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

．
∴y=

8(t+1)

t2-1 2

+16=

16

t-1

+16，
∵t∈(1，

2

]，∴

1

t-1

≥

1

2 -1

=

2

+1．
∴y≥16(

2

+1)+16=32+16

2

，
當(dāng)t=

2

時，θ=

π

4

，此時EM=CM=8，
∴BE=16＜8+8

3

．

點評：本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)代換、三角函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．