17.已知正三角形ABC的邊長為2,AM是邊BC上的高,沿AM將△ABM折起,使得二面角B-AM-C的大小為90°,此時點M到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

分析 以M為原點,MB,MC,MA為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出點M到平面ABC的距離.

解答 解:∵正三角形ABC的邊長為2,AM是邊BC上的高,
沿AM將△ABM折起,使得二面角B-AM-C的大小為90°,
∴MA、MB、MC三條直線兩兩垂直,AM=$\sqrt{3}$,BM=CM=1,
以M為原點,MB,MC,MA為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,
則M(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
A(0,0,$\sqrt{3}$),
$\overrightarrow{BM}$=(-1,0,0),$\overrightarrow{BA}$=(-1,0,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{BC}$=(-1,1,0),
設平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=-x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\end{array}\right.$,取x=$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$,1),
∴點M到平面ABC的距離為:
d=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

點評 本題考查點到平面的距離的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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