Question

（本小題滿分12分）如圖，四邊形與均為菱形， ，且，

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：AE∥平面FCB；

（Ⅲ）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）只需證，；（Ⅱ）只需證平面//平面；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)與相交于點(diǎn)，連結(jié)，

菱形中， ，且為中點(diǎn)，

又 ，所以 ， 又，

所以 平面；

（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032814204537507013/SYS201303281421369687711923_DA.files/image010.png">與均為菱形，

所以//，//，，

所以 平面//平面,又平面，

∴ AE∥平面FCB；   

（Ⅲ）解：菱形中，，為中點(diǎn)，所以，

故兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，．

設(shè)平面的法向量為，則有即 

取，得；

易知平面的法向量為，

由于二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為。

考點(diǎn)：線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；二面角。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間的線面平行，線面垂直的證明即二面角的求法，充分考查了學(xué)生的邏輯推理能力，空間想象力，以及識(shí)圖能力。