Question

已知函數(shù)g（x）=ae^x-1-x²+bln（x+1），a，b∈R
（Ⅰ）若a=0，b=1，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）的圖象在（0，g（0））處與直線x-ey+1=0相切，
（�。┣骯、b的值；
（ⅱ） 求證：?x∈（-1，1），．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：g′（x）=，
令g′（x）＞0，解得；令g′（x）＜0，解得，
所以增區(qū)間是，減區(qū)間是；------------------------（3分）
（Ⅱ）（�。┯汕芯�方程可知：切點，切線斜率為，
所以，
因為，所以，
綜上，a=1，b=0．---------------------------------------------------（6分）
（ⅱ）證明：g′（x）=e^x-1-2x，記h（x）=e^x-1-2x，
在（-1，1）上，h′（x）=e^x-1-2＜0，
所以h（x）是減函數(shù)，即函數(shù)g′（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
因為g′（-1）=e^-2+2＞0，g′（1）=-2＜0，
所以g′（x）=0在（-1，1）內(nèi)恰有一根，記為x₀，
在（-1，x₀）上，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；在（x₀，1）上，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
所以g（x₀）是極大值，也是最大值，只需證明g（x₀）=，---------（9分）
因為g′（0）=e^-1＞0，，所以x₀，
所以，-x₀²＜0，g（x₀）=．---（12分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意求出函數(shù)的導數(shù)，再分別令g′（x）＞0與g′（x）＜0，解出x的范圍，即可得到單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)題意可得：切點，切線斜率為，根據(jù)切點的特殊位置以及導數(shù)與斜率之間的關(guān)系可得答案．
（ⅱ）由題意可得：g′（x）=e^x-1-2x，記h（x）=e^x-1-2x，利用導數(shù)得到其單調(diào)性是遞減，即可g（x）得單調(diào)性進而求出函數(shù)g（x）的最大值．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握導數(shù)的幾何意義，以及熟練利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)的極值、最值等問題．