Question

2．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，Q是棱PA上的動點．

（1）若Q是PA的中點，求證：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求證：BD⊥CQ．

Answer 1

分析 （1）設AC交BD于點O，連結OQ，證明OQ∥PC．即可利用直線與平面平行的判定定理證明PC∥平面BDQ．
（2）連結OP．說明BD⊥AC，BD⊥PO，然后證明BD⊥平面PAC，即可證明BD⊥CQ．

解答 證明：（1）設AC交BD于點O，連結OQ．（1分）
因為 底面ABCD為菱形，
所以 O為AC中點．
因為 Q是PA的中點，
所以 OQ∥PC．（4分）
因為 OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．（5分）
（2）連結OP．（6分）
因為 底面ABCD為菱形，
所以 BD⊥AC，O為BD中點．（8分）
因為 PB=PD，
所以 BD⊥PO．（10分）
又因為：AO∩AC=0，
所以 BD⊥平面PAC．（11分）
因為 CQ?平面PAC，
所以BD⊥CQ．（14分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．