已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),如果對任意,,求的取值范圍
解:(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+),.
當(dāng)a≥0時,>0,故f(x)在(0,+)單調(diào)增加;
當(dāng)a≤-1時,<0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少;
當(dāng)-1<a<0時,令=0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時, >0;
x∈(,+)時,<0, 故f(x)在(0, )單調(diào)增加,在(,+)單調(diào)減少.
(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少.
所以等價于
≥4xx2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,則
+4
=.
于是≤=≤0.
從而g(x)在(0,+)單調(diào)減少,故g(x1) ≤g(x2),
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故對任意x1,x2∈(0,+) ,.
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