Question

如圖，AB為拋物線y=x²上的動弦，且|AB|=a（a為常數(shù)且a≥1），求弦AB的中點(diǎn)M與x軸的最短距離．

Answer 1

分析：設(shè)A、M、B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂、y₃，如圖，A、M、B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點(diǎn)．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y1+

p

2

=y1+

1

4

，|BF|=y3+

1

4

．又M是線段AB的中點(diǎn)，利用梯形的中位線定理可得y2=

1

2

(y1+y3)=

1

2

(|AF|+|BF|-

1

2

)≥

1

2

(|AB|-

1

2

)，解出即可．

解答：解：設(shè)A、M、B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂、y₃，如圖，
A、M、B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點(diǎn)．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y1+

p

2

=y1+

1

4

，|BF|=y3+

1

4

．
∴y1=|AF|-

1

4

，y3=|BF|-

1

4

．
又M是線段AB的中點(diǎn)，∴y2=

1

2

(y1+y3)=

1

2

(|AF|+|BF|-

1

2

)≥

1

2

(|AB|-

1

2

)=

1

2

(a-

1

2

)．
當(dāng)且僅當(dāng)AB過焦點(diǎn)F時，等號成立．
即當(dāng)定長為a的弦AB過焦點(diǎn)F時，弦AB的中點(diǎn)M與x軸的距離最小，最小值為

1

2

(a-

1

2

)．

點(diǎn)評：熟練掌握拋物線的定義、梯形的中位線定理及其三角形的三邊的大小關(guān)系和三點(diǎn)共線是解題的關(guān)鍵．