Question

（12分）如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，

若在線段PD上存在點(diǎn)E使得BE⊥CE，求線段AD的取值范圍，并求當(dāng)線段PD上有且只

有一個(gè)點(diǎn)E使得BE⊥CE時(shí)，二面角E—BC—A正切值的大小。

 

Answer 1

【答案】

若以BC為直徑的球面與線段PD有交點(diǎn)E，由于點(diǎn)E與BC確定的平面與球的截

面是一個(gè)大圓，則必有BE⊥CE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)。

設(shè)BC的中點(diǎn)為O（即球心），再取AD的中點(diǎn)M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于點(diǎn)E，連結(jié)OE，則OE⊥PD，所以O(shè)E即為點(diǎn)O到直線PD的距離，又因?yàn)镺D＞OC，OP＞OA＞OB，點(diǎn)P，D在球O外，所以要使以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)，只要使OE≤OC（設(shè)OC=OB=R）即可。

由于△DEM∽△DAP，可求得ME=  ，

 

所以O(shè)E²=9+   令OE²≤R²，即9+ ≤R² ，解之得R≥2；

 

所以AD=2R≥4，所以AD的取值范圍[ 4，+∞，

當(dāng)且僅當(dāng)AD= 4時(shí)，點(diǎn)E在線段PD上惟一存在，此時(shí)易求得二面角E—BC—A的平面角正切值為。

 

【解析】略