Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{{x}^{2}-3，x≤1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有兩個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，0]∪{2}．

Answer 1

分析 分類討論，利用關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有兩個(gè)不同解，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意，a＞0，x＞1時(shí)，lnx=$\frac{a}{x}$有一個(gè)解；
x≤1時(shí)，x²-3=$\frac{a}{x}$只有一個(gè)解，即a=x³-3x只有一個(gè)解，
令y=x³-3x，則y′=3（x+1）（x-1），
∴x＜-1時(shí)，y′＞0，-1＜x＜1時(shí)，y′＜0，
x=-1時(shí)，y=2，x=1時(shí)，y=-2，此時(shí)a=2滿足題意；
同理，-2≤a≤0滿足題意，
故答案為[-2，0]∪{2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．