Question

min{s₁，s₂，┅，s_n}，max{s₁，s₂，┅，s_n}分別表示實數(shù)s₁，s₂，┅，s_n中的最小者和最大者．
（1）作出函數(shù)f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的圖象；
（2）在求函數(shù)f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的最小值時，有如下結論：f（x）_min=min{f（-3），f（1）=4．請說明此結論成立的理由；
（3）仿照（2）中的結論，討論當a₁，a₂，┅，a_n為實數(shù)時，函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+┅+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜┅＜x_n∈R）的最值．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的意義，對x分段討論取得絕對值符號，轉化為分段函數(shù)，分段畫出函數(shù)的圖象．
（2）結合圖象得到函數(shù)的單調性，利用單調性說明函數(shù)的最值在何處取得．
（3）利用類比推理得到一般情況下最值在何處取得．

解答：解：（1）f（x）=|x+3|+2|x-1|=

-3x-1(x≤-3) -x+5(-3＜x＜1) 3x+1(x≥1)

其圖象如圖

（2）當x∈（-∞，-3）時，f（x）是減函數(shù)，
當x∈[-3，1）時，f（x）是減函數(shù)，
當x∈[1，+∞）時，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）_min=min{f（-3），f（1）}=4．
（3）當a₁+a₂+┅+a_n＜0時，f（x）_max=maxf（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
當a₁+a₂+┅+a_n＞0時，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
當a₁+a₂+┅+a_n=0時，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂）}，
f（x）_max=maxf（x₁），f（x_n）}．

點評：本題考查利用絕對值的意義分段討論去絕對值轉化為分段函數(shù)、利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值、類比推理的推理方法．