Question

如圖，在△ABC中，BC、CA、AB的長分別為a，b，c，
（1）求證：a=bcosC+ccosB；
（2）若，試證明△ABC為直角三角形．

Answer 1

解：（1）∵，
∴
∴a²=accosB+bacosC
∴a=bcosC+ccosB
（2）由得，
而
∴，∴△ABC為直角三角形
證法二：由（1）類似可證得：c=acosB+bcosA（*）
由得，accos（π-B）+c²=0．即：c²=accosB
∴c=acosB，結(jié)合（*）式得bcosA=0
∴A=90°，∴△ABC為直角三角形．
分析：（1）通過，兩邊平方化簡，即可證明a=bcosC+ccosB；
（2）利用，轉(zhuǎn)化為，推出，即可證明△ABC為直角三角形．
法二：利用（1）的結(jié)論，直接化簡推出bcosA=0，說明A=90°即可．
點評：本題是中檔題，通過向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的有關(guān)知識，考查三角形的判定，計算能力常考題型，注意本題的解法比較多，（1）也可以取與同向的單位向量，在的兩邊作數(shù)量積，同樣可證．