(2006黃岡)如下圖，正方形的邊長為4，D是的中點，E是上的點，將△及△分別沿DC和EC折起，使、重合于A，且二面角A－DC－E為直二面角．

(1)求證：CD⊥DE；

(2)求AE與面DEC所成角的正弦值；

(3)求點D到平面AEC的距離．

答案：略
解析：

解析：(1)∵、重合于A，

∴AC⊥AD，AC⊥AE，

故AC⊥面ADE，∴AC⊥DE．

∵A—DC—E為直二面角，

∴過A作AF⊥CD于F，則AF⊥面CDE，

故CD為AC在面CDE上的射影，由三垂線定理的逆定理有CD⊥DE．

(2)∵AF⊥面CDE，∴∠AEF為AE與面DEC所成的角，

在Rt△CAD中，AD=2，AC=4，

∴，，

又∵CD⊥DE，∴在正方形中，．故

BE=1，∴．

又∵DE⊥CD，DE⊥AC，∴DE⊥面ACD，則DE⊥AD．

∴在Rt△ADE中，AE=3，

故在Rt△AFE中，，

∴AE與面DEC所成角的正弦值為．

(3)設(shè)D到面AEC的距離為d，則由有

，∴．

故，即點D到平面AEC的距離為．


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61
61
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