Question

【題目】在正方體中，點平面，點是線段的中點，若，則當的面積取得最小值時，（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)分析出點在直線上，當的面積取得最小值時，線段的長度為點到直線的距離，即可求得面積關(guān)系．

先證明一個結(jié)論P：若平面外的一條直線l在該平面內(nèi)的射影垂直于面內(nèi)的直線m，則l⊥m，

即：已知直線l在平面內(nèi)的射影為直線OA，OA⊥OB，求證：l⊥OB.

證明：直線l在平面內(nèi)的射影為直線OA，

不妨在直線l上取點P，使得PA⊥OB，OA⊥OB，OA，PA是平面PAO內(nèi)兩條相交直線，

所以OB⊥平面PAO，平面PAO，

所以PO⊥OB，即l⊥OB.以上這就叫做三垂線定理.

如圖所示，取的中點，

正方體中：，在平面內(nèi)的射影為，

由三垂線定理可得：，

在平面內(nèi)的射影為，

由三垂線定理可得：，與是平面內(nèi)兩條相交直線，

所以平面，

∴當點在直線上時，，

設(shè)，則，

當的面積取最小值時，

線段的長度為點到直線的距離，

∴線段長度的最小值為，

.

故選：D.