Question

已知f（x）=log_ax在[3，+∞）上恒有|f（x）|＞1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)a＞1時(shí)，不等式即 log_ax＞1=log_aa，故a＜x對(duì)任意x∈[3，+∞）恒成立，得到1＜a＜3，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式即 -logax=loga

1

x

＞1=logaa，故a＜x對(duì)任意x∈[3，+∞）恒成立，故

1

3

＜a＜1，將兩種情況下求得的a的取值范圍再取并集．

解答：解：當(dāng)a＞1時(shí)，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=log_ax＞0，
由|f（x）|＞1，得log_ax＞1=log_aa，∴a＜x對(duì)任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：1＜a＜3．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，∵x∈[3，+∞），∴y=f（x）=log_ax＜0，
由|f（x）|＞1，得-logax=loga

1

x

＞1=logaa，∴a＜x對(duì)任意x∈[3，+∞）恒成立．
于是：

1

3

＜a＜1．  綜之：a∈(

1

3

，1)∪(1， 3)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．