Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，

3

2

)，f(x)=(

m

+

n

)•

m．

（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）不等式f（x）≤

2

4

（|a+1|+|a|），當(dāng)a∈R時(shí)恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）算出向量

m

+

n

的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式與三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)，結(jié)合x∈[0，

π

2

]利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得函數(shù)f（x）的值域；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，證出當(dāng)-1≤a≤0時(shí)|a+1|+|a|的最小值為1，從而得到f（x）≤

2

4

時(shí)原不等式在a∈R時(shí)恒成立，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象加以計(jì)算，即可得到滿足條件的x的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

+

n

=(sinx+cosx，

1

2

)，

m

=(sinx，-1)
∴f(x)=(sinx+cosx)sinx-

1

2

=sin2x+sinxcosx-

1

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x
即f（x）=

2

2

（sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

）=

2

2

sin(2x-

π

4

)
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，可得sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域是[-

1

2

，

2

2

]；
（2）∵|a+1|+|a|≥|（a+1）-a|=1
∴當(dāng)-1≤a≤0時(shí)，|a+1|+|a|的最小值為1，
因此若不等式f（x）≤

2

4

（|a+1|+|a|）當(dāng)a∈R時(shí)恒成立，
即函數(shù)f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)≤

2

4

恒成立，即sin(2x-

π

4

)≤

1

2

．
結(jié)合正弦函數(shù)圖象，可得-

7π

6

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

6

+2kπ（k∈Z），
解之得kπ-

11π

24

≤x≤kπ+

5π

24

（k∈Z），
∴滿足條件的x的取值范圍為[kπ-

11π

24

，kπ+

5π

24

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量含有三角函數(shù)的坐標(biāo)式，求關(guān)于向量數(shù)量積的函數(shù)的值域與最值．著重考查了平面向量數(shù)量積的公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的值域與最值等知識(shí)，屬于中檔題．