Question

無窮等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，且所有項的和為

2

3

，則a₁的范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列為無窮等比數(shù)列，且所有項的和為

2

3

，得到極限存在，即公比q大于等于-1小于等于1，且不為0，當官公比q等于1時，數(shù)列為常數(shù)列，利用首項a₁表示出數(shù)列的前n項的和，解出a₁，當n趨于無窮大時a₁趨于0，得到a₁大于0，當q大于等于-1小于1時，利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出s_n，當n趨于無窮大時，qⁿ趨于0，得到s_n=

a1

1-q

=

2

3

，解出a₁，根據(jù)當q=-1時，a₁取得最大值，即可解出a₁的取值范圍，同時因為公比q不為0，得到a₁不等于

2

3

，綜上，寫出a₁的取值范圍即可．

解答：解：因為數(shù)列{a_n}為無窮等比數(shù)列，且其所有項的和為

2

3

，即其極限存在，
故可知|q|≤1且q≠0，即-1≤q≤1且q≠0，
當q=1時，無窮等比數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，設(shè)s_n為其所有項之和，則s_n=na₁=

2

3

，
即a₁=

2

3n

，當n→+∞時，a₁→0，即a₁＞0；
當-1≤q＜1時，s_n=

a1(1-qn)

1-q

，當n→+∞時，qⁿ→0，于是有s_n=

a1

1-q

=

2

3

，
即a₁=

2

3

（1-q），當q=-1時，a₁最大，所以得到0＜a₁≤

3

4

，
又q≠0，得到a₁≠

2

3

，
綜上，a₁的范圍是（0，

2

3

）∪（

2

3

，

4

3

）．
故答案為：（0，

2

3

）∪（

2

3

，

4

3

）

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，要求學(xué)生會利用極限思想解決實際問題，是一道中檔題．學(xué)生求a₁范圍的時候注意q不為0這個條件得到a₁≠

2

3

．