5.已知橢圓D:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)分別為雙曲線(xiàn)E的焦點(diǎn)與實(shí)軸端點(diǎn),橢圓D與雙曲線(xiàn)E在第一象限的交點(diǎn)在直線(xiàn)y=2x上,則橢圓D的離心率為(  )
A.$\sqrt{2}$-1B.$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$D.$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

分析 由題意可得雙曲線(xiàn)方程,設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)在直線(xiàn)y=2x上的交點(diǎn)(m,2m),把該點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓與雙曲線(xiàn)方程,消去m,化簡(jiǎn)整理得答案.

解答 解:由題意可得,雙曲線(xiàn)E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$.
設(shè)橢圓D與雙曲線(xiàn)E的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m),
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$,①
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$,②
聯(lián)立①②,得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4}{^{2}}$.
整理得:8a4-8a2b2-b4=0.
∴${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}^{2}$,
則${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}({a}^{2}-{c}^{2})$,
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=5-2\sqrt{6}$,
則$\frac{c}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬中檔題.

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13.已知橢圓$P:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的右焦點(diǎn)為F(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$({\frac{2}{3},\frac{{2\sqrt{6}}}{3}})$
(1)求橢圓P的方程;
(2)已知正方形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓P上,頂點(diǎn)B,D在直線(xiàn)7x-7y+1=0上,求該正方形ABCD的面積.

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20.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線(xiàn)MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),且斜率分別為k1,k2,若點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則k1•k2的值為-$\frac{1}{4}$.

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10.已知拋物線(xiàn)E:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的最小值;
(2)過(guò)A,B分別作拋物線(xiàn)E的切線(xiàn)l1,l2,若l1與l2交于點(diǎn)P,求$\frac{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}}{|\overrightarrow{PF}{|}^{2}}$的值.

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17.已知函數(shù)f(x)=$\frac{lnx+ax+1}{x}$.
(1)若對(duì)任意x>0,f(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),證明:x12+x22>2.

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14.已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足:${a_{n+k}}-{({-1})^k}•{a_n}={b_n}(n∈{N^*})$.
(1)若$k=1,{a_1}=1,{b_n}={2^n}$,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若k=4,bn=8,a1=4,a2=6,a3=8,a4=10.
①求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
②記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求滿(mǎn)足${({{S_n}+1})^2}-\frac{3}{2}{a_n}+33={k^2}$的所有正整數(shù)k和n的值.

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15.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$過(guò)點(diǎn)P($\sqrt{3}$,1)且離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)F的直線(xiàn)交橢圓C于M,N兩點(diǎn),定點(diǎn)A(-4,0).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若△AMN面積為3$\sqrt{3}$,求直線(xiàn)MN的方程.

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