A. | $\sqrt{2}$-1 | B. | $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | D. | $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$ |
分析 由題意可得雙曲線(xiàn)方程,設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)在直線(xiàn)y=2x上的交點(diǎn)(m,2m),把該點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓與雙曲線(xiàn)方程,消去m,化簡(jiǎn)整理得答案.
解答 解:由題意可得,雙曲線(xiàn)E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$.
設(shè)橢圓D與雙曲線(xiàn)E的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2m),
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$,①
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$,②
聯(lián)立①②,得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4}{^{2}}$.
整理得:8a4-8a2b2-b4=0.
∴${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}^{2}$,
則${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}({a}^{2}-{c}^{2})$,
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=5-2\sqrt{6}$,
則$\frac{c}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
故選:B.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬中檔題.
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