Question

5．已知橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)分別為雙曲線(xiàn)E的焦點(diǎn)與實(shí)軸端點(diǎn)，橢圓D與雙曲線(xiàn)E在第一象限的交點(diǎn)在直線(xiàn)y=2x上，則橢圓D的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線(xiàn)方程，設(shè)橢圓與雙曲線(xiàn)在直線(xiàn)y=2x上的交點(diǎn)（m，2m），把該點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓與雙曲線(xiàn)方程，消去m，化簡(jiǎn)整理得答案．

解答 解：由題意可得，雙曲線(xiàn)E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．
設(shè)橢圓D與雙曲線(xiàn)E的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m），
∴$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$，①
$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4{m}^{2}}{^{2}}=1$，②
聯(lián)立①②，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}=\frac{1}{{a}^{2}-^{2}}-\frac{4}{^{2}}$．
整理得：8a⁴-8a²b²-b⁴=0．
∴${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}^{2}$，
則${a}^{2}=\frac{2+\sqrt{6}}{4}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}=5-2\sqrt{6}$，
則$\frac{c}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬中檔題．