Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+a_n-1=2n-1，n≥2，且n∈N₊，則數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和為（　�。�

• A、S_n=1-

  1

  2n

• B、S_n=2-

  1

  2n-1

  -

  n

  2n

• C、S_n=n（1-

  1

  2n

  ）
• D、S_n=2-

  1

  2n-1

  +

  n

  2n

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式結(jié)合首項(xiàng)求出數(shù)列前幾項(xiàng)，猜測出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用首項(xiàng)歸納法證明，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：由a₁=1，a_n+a_n-1=2n-1，n≥2，得
a₂=2，a₃=3，a₄=4，…
由此猜測a_n=n．
下面利用首項(xiàng)歸納法證明：
a₁=1符合；
假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=k，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1+a_k=2（k+1）-1=2k+1，
則a_k+1=2k+1-k=k+1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
綜上，a_n=n．
設(shè)數(shù)列{

an

2n

}的前n項(xiàng)和為S_n．
則Sn=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

  ①，

1

2

Sn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

  ②，
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．