Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)，的值；

（2）若函數(shù)在和兩處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意得：，，解得，.

（2）由題意知：有兩個(gè)零點(diǎn)，，

令，而.

對時(shí)和時(shí)分類討論，解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，合題；

（3）由題意得，，即.

所以，令，即，

令，求導(dǎo)，得在上單調(diào)遞減，即.

，.令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，得的取值范圍.

（1），

由題意得：，即，

即，所以，.

（2）由題意知：有兩個(gè)零點(diǎn)，，

令，而.

①當(dāng)時(shí)，恒成立

所以單調(diào)遞減，此時(shí)至多1個(gè)零點(diǎn)（舍）.

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，

解得：.

因?yàn)?/span>，，且，

而在上單調(diào)遞減，

所以在上有1個(gè)零點(diǎn)；

又因?yàn)?/span>（易證），

則且，

而在上單調(diào)遞增，

所以在上有1個(gè)零點(diǎn).

綜上：.

（3）由題意得，，即.

所以，令，即，

令，，

令，而，

所以在上單調(diào)遞減，即，

所以在上單調(diào)遞減，即.

因?yàn)?/span>，.

令，而恒成立，

所以在上單調(diào)遞減，又，

所以.