Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知ba_n－2ⁿ＝(b－1)S_n.
(1)證明：當b＝2時，{a_n－n·2^n－1}是等比數列；
(2)求{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）見解析（2）a_n＝

由題意知a₁＝2，且ba_n－2ⁿ＝(b－1)S_n，ba_n＋1－2^n＋1＝(b－1)S_n＋1，
兩式相減得b(a_n＋1－a_n)－2ⁿ＝(b－1)a_n＋1，
即a_n＋1＝ba_n＋2ⁿ.①
(1)證明　當b＝2時，由①知a_n＋1＝2a_n＋2ⁿ，
于是a_n＋1－(n＋1)·2ⁿ＝2a_n＋2ⁿ－(n＋1)·2ⁿ＝2(a_n－n·2^n－1)，
又a₁－1·2^1－1＝1≠0，所以{a_n－n·2^n－1}是首項為1，公比為2的等比數列．
(2)當b＝2時，由(1)知a_n－n·2^n－1＝2^n－1，即a_n＝(n＋1)·2^n－1；當b≠2時，由①得，a_n＋1－·2^n＋1＝ba_n＋2ⁿ－·2^n＋1＝ba_n－·2ⁿ＝b，因此a_n＋1－·2^n＋1＝b＝·bⁿ，
得a_n＝