Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+1）x+2（a∈R）．
（I）當a=2時，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≥0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=2時，函數(shù)f（x）=2x²-3x+2，求不等式f（x）＞1的解集即可；
（Ⅱ）討論a=0與a＞0、a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值是什么，
由此建立不等式求出a的集合即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時，函數(shù)f（x）=2x²-3x+2，
不等式f（x）＞1化為2x²-3x+1＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞1；
所以該不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$或x＞1}；
（Ⅱ）由對任意x∈[-1，3]，都有f（x）≥0成立；
討論：①當a=0時，f（x）=-x+2在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
且f（3）=-3+2=-1＜0，不滿足題意；
②當a＞0時，二次函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＞$\frac{1}{2}$，
若$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜3，則a＞$\frac{1}{5}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$）≥0，
即a²-6a+1≤0，解得3-2$\sqrt{2}$≤a≤3+2$\sqrt{2}$，取$\frac{1}{5}$＜a≤3+2$\sqrt{2}$；
若$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$≥3，則0＜a≤$\frac{1}{5}$，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（3）≥0，
解得a≥$\frac{1}{6}$，取$\frac{1}{6}$≤a≤$\frac{1}{5}$；
當a＜0時，二次函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2a}$＜$\frac{1}{2}$，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（3）≥0，解得a≥$\frac{1}{6}$，此時a不存在；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{6}$≤a≤3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了一元二次不等式與含有字母系數(shù)的不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分類討論，是綜合性題目．