已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P(-2,0)到其漸近線的距離為
2
6
3
.若過P點(diǎn)作斜率為
2
2
的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn),且PM是PA與PB的等比中項(xiàng),則雙曲線的半焦距為
 
考點(diǎn):雙曲線的簡單性質(zhì)
專題:計算題,空間位置關(guān)系與距離
分析:利用點(diǎn)P(-2,0)到其漸近線的距離為
2
6
3
,可求雙曲線G的漸近線的方程;利用漸近線設(shè)出雙曲線G的方程,把直線l的方程與雙曲線G的方程聯(lián)立求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式,再利用|PA|•|PB|=|PM|2.即可求出雙曲線G的方程,從而可得雙曲線的半焦距.
解答: 解:設(shè)雙曲線G的漸近線的方程為y=kx,
因?yàn)辄c(diǎn)P(-2,0)到其漸近線的距離為
2
6
3
,
所以
|2k|
k2+1
=
2
6
3
,
所以k=±
2
,即雙曲線G的漸近線的方程為y=±
2
x.
設(shè)雙曲線G的方程為2x2-y2=m,
把直線l的方程y=
2
2
(x+2)代入雙曲線方程,
整理得3x2-4x-4-2m=0,
則xA+xB=
4
3
,xAxB=-
4+2m
3
.(*)
∵|PA|•|PB|=|PM|2,P、A、B、M共線且P在線段AB上,
∴(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xM2,即(xB+2)(2+xA)=4,
整理得2(xA+xB)+xAxB+8=0.
將(*)代入上式得m=17,
∴雙曲線的方程中a2=
17
2
,b2=17,
∴c2=
51
2
,∴c=
102
2

故答案為:
102
2
點(diǎn)評:本題涉及到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法問題.因?yàn)殡p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式,所以在設(shè)方程之前一定要先看焦點(diǎn)所在位置.
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